\chapter{欧拉(1757)流体运动方程的推导与分析}

	\begin{abstract}
		本文详细再现了莱昂哈德·欧拉于1757年提出的流体运动方程的历史推导过程。通过分析无穷小流体微元的动量变化，欧拉首次建立了无粘性流体的基本运动方程，为流体力学奠定了数学基础。本文采用现代矢量符号系统重新表述原始推导，同时保持其核心物理思想不变。
		
		\textbf{关键词}: 欧拉方程，流体力学，历史推导，连续介质力学
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	1757年，莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在《柏林科学院纪要》中发表了题为"流体运动的一般原理"(Princia motus fluidorum)的里程碑论文，首次建立了描述无粘性流体运动的完整微分方程。这一工作标志着连续介质力学数学理论的开端，其推导过程展现了卓越的物理直觉与数学技巧的结合。
	
	\section{欧拉的推导背景}
	在欧拉之前，丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli)已建立了流体静力学的基本原理(1738)，但流体动力学的普遍理论尚未形成。欧拉基于以下基本假设展开推导：
	
	\begin{itemize}
		\item 流体是连续的、不可压缩的
		\item 忽略粘性效应(无粘性流体)
		\item 压力是各向同性的标量场
		\item 质量守恒原理成立
	\end{itemize}
	
	\section{质量守恒方程的建立}
	欧拉首先考虑流体微元的质量守恒。设流体密度为$\rho$，速度为$\mathbf{u}$，则在笛卡尔坐标系中：
	
	\begin{equation}
		\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0
	\end{equation}
	
	对于不可压缩流体($\rho = \text{const}$)，简化为：
	
	\begin{equation}
		\nabla \cdot \mathbf{u} = 0
	\end{equation}
	
	\section{动量方程的推导}
	\subsection{流体微元的受力分析}
	欧拉考虑一个无穷小流体微元$dV = dx\,dy\,dz$，其受到两种力：
	
	1. \textbf{表面力}：仅考虑压力$p(x,y,z,t)$，在$x$方向上的净压力为：
	
	\begin{equation}
		df_x = -\left(\frac{\partial p}{\partial x}\right)dx\,dy\,dz
	\end{equation}
	
	2. \textbf{体积力}：设单位质量力为$\mathbf{F}$，则：
	
	\begin{equation}
		d\mathbf{F} = \rho \mathbf{F}\,dV
	\end{equation}
	
	\subsection{动量变化率}
	根据牛顿第二定律，流体微元的动量变化率为：
	
	\begin{equation}
		\rho \frac{D\mathbf{u}}{Dt} = -\nabla p + \rho \mathbf{F}
	\end{equation}
	
	其中$\frac{D}{Dt}$为物质导数：
	
	\begin{equation}
		\frac{D}{Dt} = \frac{\partial}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla
	\end{equation}
	
	展开后得到欧拉方程的现代形式：
	
	\begin{equation}
		\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \mathbf{F}
	\end{equation}
	
	\section{欧拉原始推导的特点}
	欧拉的原始推导具有以下特征：
	
	\begin{itemize}
		\item 采用几何语言描述流体微元变形
		\item 未明确使用偏导数符号(当时尚未标准化)
		\item 通过分量形式逐步建立方程
		\item 强调压力梯度的物理意义
	\end{itemize}
	
	\section{方程的意义与影响}
	欧拉方程(1757)建立了速度场与压力场之间的基本关系：
	
	\begin{enumerate}
		\item 首次将牛顿力学成功推广至连续介质
		\item 为Navier-Stokes方程(1822)奠定基础
		\item 启发了拉格朗日的分析力学方法
		\item 成为现代计算流体力学(CFD)的起点
	\end{enumerate}
	
	\section{结论}
	欧拉1757年的推导开创了流体数学理论的新纪元。尽管现代表述已采用更简洁的矢量形式，但其核心思想——通过无穷小微元分析建立场方程——至今仍是连续介质力学的基本方法。这一工作不仅解决了当时的流体运动问题，更为后续的粘性流体理论和湍流研究提供了必要基础。
	
	\begin{thebibliography}{9}
		\bibitem{euler1757} 
		Euler, L. (1757). 
		\textit{Principia motus fluidorum}. 
		Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae, 6, 271-311.
		
		\bibitem{truesdell1954}
		Truesdell, C. (1954). 
		\textit{The Rational Mechanics of Flexible or Elastic Bodies 1638-1788}. 
		Orell Füssli.
		
		\bibitem{batchelor2000}
		Batchelor, G. K. (2000). 
		\textit{An Introduction to Fluid Dynamics}. 
		Cambridge University Press.
	\end{thebibliography}
	